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2016年12月7日

8389:「部分分数分解」ことはじめ

読者の皆さんは「部分分数分解」という舌を噛みそうな言葉をご存知でしょうか?

今朝の駅までの道で子供に教えられた「高校2年の数学の試験」に出てくるべき問題の一つのパターンだそうです。
(この時聞いた別の問題のパターン:「合同式」は後日機会があれば記載します。)

 積分などの場合に、Σに囲まれた多くの項を書き出してゆくと、書き出された一部と、数行下に現れるマイナス部分とでキャンセルしあって、最初と最後の部分だけが残り、比較的簡単な式の和で示すようにできる場合があります。

「部分分数分解」というのは、そのように値を扱う前段階として、積の形になっている分数式を簡単な分数式の和や差に書き換えることを表す言葉である様です。

『部分分数 ぶぶんぶんすう partial fraction』

『1つの分数式を,それより簡単ないくつかの分数式の和の形に書直すことを,与えられた分数を部分分数に分解するという。』

たとえば,分数式
10290900_siki0
を,A ,B を定数として
10290900_siki3
の形に書直すことを試みれば,分母を払って係数を比較して A=6,B=-1 であることがわかる。 というわけです。

私が習った昭和47年当時の高校生の数学では聞かなかった言葉のような気がします。
このような式の変形を見せられると「美しい数学」という言葉が実感できます。しかし、

もっと実践的な別のページを見るとその解き方には3つの方法があるとしてありました。

つまり:3通りの方法。(上の方法はこの方法1に相当します。)

•方法1:分母を払って係数を比較する:•多くの教科書に乗っている最も定番の手法だが、この方法のデメリットは計算がめんどくさい:とのこと。

•方法2:分母を払って数値を代入する:この方法のメリットは部分分数分解の全てのパターンに使えることで、この方法のデメリットは計算が少しめんどくさいけど方法1よりはかなり楽なのだそうです。

そして、
•方法3:形を見て直感で分解する:この方法のメリットは計算がとても楽であり、•実戦で登場する多くの問題は方法3が使える形なのだそうです。この方法のデメリットは p/[(x−q)(x−r)] の形にしか使えないこと。

『使える時には方法3を積極的に使って,使えない時は方法1と方法2のうちで自分の好きな方を使いましょう。』と締めくくってありました。

  子供に聞くと、このようなときに使える分解の為の式は10種ほどもあって、
早く問題を解くためにはその各々を公式のように丸暗記する必要があるようです。

 かわいそうに、きっと多くの生徒は丸暗記して、方法3を使っているんだろうなーと思った次第です。

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