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2016年9月22日

8153: フィボナッチ数列と黄金比

フィボナッチ数列と黄金比 (http://kk-online.jp/math007.htmlを参考に)

おばあちゃんが田舎から訪ねてきてくれました。
その夕食の時に、連続と思いがちな数値の変化にも特異点があって、曲線が連続してはつながらないないことがある。それをカタストロフィーと呼ぶが、昨日とつながる今日、今日につながる明日があると思う生き方には落とし穴がある。という話になりました。
 それがどうつながったのかは不明ですが、子供が「収束」という単語から、フィボナッチ数列のことを思い出させてくれました。この「連続する2項の比は最も普遍的で美しいともされる黄金長方形の2辺の比に収束します」。ここで、今日はフィボナッチ数列のお話を思い出してみましょう。

<フィボナッチ数列>
34_21-FibonacciBlocks(ウィキペディアから)

有名な数列の紹介から。
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,・・・・・・
はじめの2つの1を除いたこの数列のそれぞれの数は,その1 つ前の数と2 つ前の数との和になっています。 2=1+1,3=1+2,5=2+3,8=3+5,・・・・・・

このような数列をフィボナッチ数列といいます。「フィボナッチ」とは12~13 世紀のイタリアに実在した数学者の名前です。

<フィボナッチ数列の長方形>

はじめに1 辺が1の正方形を2つならべ,その横に1 辺が2の正方形,1 辺が3の正方形,1 辺が5の正方形を次々にならべてどんどん大きくなる長方形を作っていく。長方形のたて,横の長さはフィボナッチ数である。

自然界の様々なところにこの数列を見出すことができる。

<黄金比と黄金長方形〉 「黄金長方形」は、身の回りの様々な長方形(教科書やノートの形,テレホンカード・・・)に利用されています。この長方形のたて,横の辺の比は約5:8ですが,この形は古代ギリシャの時代から,もっとも均整のとれた美しい長方形である,とされてきたのです。 黄金長方形とは,「そこから正方形を取り除いても形が変わらない長方形」である,と言える。この黄金長方形の辺の比を数学的にきちんと計算すると,次のようになります。 上の比を「黄金比」とよび,これもまた,古代ギリシャの時代から,もっとも均整がとれ,美しい比であるとされてきました。これがなぜ‘美しい’のか,これはどのような比なのか,といったところを次に見ていきましょう。 <黄金比と美術>
辺の比に黄金比をもつ黄金長方形は古来よりもっとも均整がとれ,美しい長方形であるとされてきた。

<フィボナッチ数列と黄金比> ~「フィボナッチ数列」と「黄金比」との関係~
◎ フィボナッチ数列のとなり合う2 つの数の比は,黄金比に限りなく近づいていく

これが,今回の結論。数学的に言うと,黄金比に‘収束’するのです。

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