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2017年10月13日

9273:すべての正多面体の面の数の合計は?⇒50

高校の数学の問題は「考えることを要求するというよりも、そのパターンを知っているか?を問うている」ということで、今日は子供と夕飯の時に正多面体の話をしました。「すべての正多面体の面の数の合計は? 答え:50」という信じられないようなバカげた問題が過去問に出ているのだそうです。
120px-Hexahedron-slowturn120px-Octahedron-slowturn120px-Dodecahedron-slowturn120px-Icosahedron-slowturn120px-Tetrahedron-slowturn
皆さんは、「正多面体には,正四面体,正六面体,正八面体,正十二面体,正二十面体の5つのみがある。」と知っていました?

この証明をして見せるというのが高校数学問題における一つのパターンなのだそうです。

要するに問題の考え方としては正何角形が、各頂点にいくつ集まることが出来るかを解いてゆくのだそうです。
わかったようなわからぬようなお話ですが、ネット上の解法を短縮してここに引用してみます。(https://mathtrain.jp/seitamen5)

◎まず正多面体の定義

「正多面体」とは何なのか?。正多面体とは,以下の三つの条件を満たす非常に対称性の高い多面体。

1:全ての面が合同な正多角形で構成されている
2:いずれの頂点に集まる辺の数(=面の数)も等しい
3:凸多面体(へこんでいない)

正多面体じゃないもの

正三角形六個で構成される多面体は青の頂点からは辺が4本,緑の頂点からは辺が3本出ており条件2を満たない。

◎以上を踏まえると,正多面体は以下の M,NM,N を決めることで一意に定まる。

  • 一つの面の辺の数 M (正何角形なのか)。
  • 一つの頂点に集まる辺の数(=面の数)  。

よって,M,NM,N がとりうる値が5種類しかないことを証明するのが目標になる。

(※条件3がないと M,NM,N を決めても一般に多面体は一つには決まらない。)

正多面体が5種類しかないことの証明の一つは以下の通り:

凸多面体に一般的に成立する性質:一つの点に集まる角度の和が 360°未満であることを使う。

証明

正M角形の一つの内角の大きさは(180(M2)/M) 度なので,
一つの頂点に集まる角度の和は{180(M2)/M}N度である。
これが 360未満なので,
180M2MN<360  
ここからは整数問題。
上式を整理すると (M−2)(N−2)<4

,N
M,N
は定義から、いずれも 3以上であることに注意すると,
上の不等式を満たす(M,N) の組は以下の 5 通りであることが分かる:
(M,N)=(3,3),(3,4),(3,5),(4,3),(5,3)
それぞれが正四面体,正八面体,正二十面体,正六面体,正十二面体に対応しており,正多面体はこの5種類のみである。:というのです。

清澤のコメント。高校の数学というのは試験を目的としなければ、結構面白く論ずることが出来そうです。


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